Update 2024-03-01-数学学习.md

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@@ -356,6 +356,124 @@ if F' = G', F(x) = G(x) + c
 	1.	行列式
 	•	行列式的定义与性质
 	2.	矩阵
+
+### 题目要求
+
+已知：
+
+$ A \vec{v} = \lambda \vec{v} $
+
+矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} $。
+
+求 $ A $ 的特征向量和特征值，并计算 $ A^n $ 的表达式。
+
+---
+
+### 解答
+
+#### 1. 特征值
+
+特征值满足 $ \det(A - \lambda I) = 0 $。
+
+$$
+A - \lambda I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\lambda & 1 \\ 1 & -1 - \lambda \end{bmatrix}
+$$
+
+求行列式：
+
+$$
+\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - \lambda - 1 = 0
+$$
+
+解得特征值：
+
+$$
+\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
+$$
+
+记为：
+
+$$
+\lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad \lambda_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}
+$$
+
+---
+
+#### 2. 特征向量
+
+对于特征值 $ \lambda_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $：
+
+$$
+A - \lambda_1 I = \begin{bmatrix} -\frac{1 + \sqrt{5}}{2} & 1 \\ 1 & -\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}
+$$
+
+求解 $ (A - \lambda_1 I) \vec{v} = 0 $，即：
+
+$$
+-\frac{1 + \sqrt{5}}{2} x + y = 0
+$$
+
+令 $ x = 1 $，则 $ y = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} $。
+
+故特征向量为：
+
+$$
+\vec{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}
+$$
+
+对于特征值 $ \lambda_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $：
+
+$$
+A - \lambda_2 I = \begin{bmatrix} -\frac{1 - \sqrt{5}}{2} & 1 \\ 1 & -\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}
+$$
+
+求解 $ (A - \lambda_2 I) \vec{v} = 0 $，即：
+
+$$
+-\frac{1 - \sqrt{5}}{2} x + y = 0
+$$
+
+令 $ x = 1 $，则 $ y = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} $。
+
+故特征向量为：
+
+$$
+\vec{v_2} = \begin{bmatrix} 1 \\ \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}
+$$
+
+---
+
+#### 3. 求 $ A^n $ 的表达式
+
+设 $ A = P D P^{-1} $，则 $ A^n = P D^n P^{-1} $。
+
+已知：
+
+$$
+D = \begin{bmatrix} \frac{1 + \sqrt{5}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}
+$$
+
+$$
+D^n = \begin{bmatrix} \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right)^n & 0 \\ 0 & \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \right)^n \end{bmatrix}
+$$
+
+求 $ P $ 和 $ P^{-1} $：
+
+$$
+P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \frac{1 + \sqrt{5}}{2} & \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \end{bmatrix}
+$$
+
+$$
+P^{-1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{5} - 1}{2} & -1 \\ -\frac{\sqrt{5} + 1}{2} & 1 \end{bmatrix}
+$$
+
+因此，
+
+$$
+A^n = P D^n P^{-1}
+$$
+
+
 	•	矩阵的基本运算
 	•	逆矩阵
 	•	矩阵的秩