10.26

source/_posts/CF1614D2.md

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 转移方程为
 
 $$
-f_x=\max_{kx\le\max\{a\}}f_{kx}+\sum_{i=1}^n[x\mid a_i\land kx\not\mid a_i]
+f_x=\max_{kx\le\max\{a\}}\left\{f_{kx}+\sum_{i=1}^n[x\mid a_i\land kx\not\mid a_i]\right\}
 $$
 
 这样转移是 $O(n\log n)$ 的。

source/_posts/CF797F.md

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+---
+title: "[CF797F] Mice and Holes"
+categories:
+  - 题目
+date: 2023-10-25 13:38:56
+tags:
+  - 动态规划
+  - 转移优化
+---
+不难发现一个性质，如果某个方案中老鼠 $i,j$ 分别躲进了洞 $u,v$ 中，$x_i<x_j$ 而 $p_u>p_v$，显然调整为让 $i$ 躲进 $v$，$j$ 躲进 $u$，该方案一定不会变劣。因此，将老鼠按照起点所在的位置划分为几个连续段，这些连续段从左往右依次匹配从左往右的洞，一定不劣。
+
+考虑朴素 DP，设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个洞匹配前 $j$ 个老鼠，老鼠需要走的总长度最小值。有
+
+$$
+\begin{aligned}
+f_{i,j}&=\min_{k=j-c_i}^j\left\{f_{i-1,k}+\sum_{k<t\le j}|x_k-p_i|\right\}\\
+&=\min_{k=j-c_i}^j\{f_{i-1,k}+s_{i,j}-s_{i,k}\}\\
+&=s_{i,j}+\min_{k=j-c_i}^j\{f_{i-1,k}-s_{i,k}\}
+\end{aligned}
+$$
+
+其中 $s_{i,j}$ 是好求的，并且 $j$ 增大的过程中，$k$ 的合法取值区间单调右移，使用优先队列优化到 $O(nm)$。

source/_posts/CF850C.md

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+---
+title: "[CF850C] Arpa and a game with Mojtaba（TODO）"
+categories:
+  - 题目
+date: 2023-10-25 10:07:07
+tags:
+  - 博弈论
+---
+鉴于每次只能选择一个质因数取，我们可以将原游戏分解为多个游戏的组合，对于质数 $p$，若 $a_i=p^{\alpha_i}k_i$（其中$p\not\mid k_i$），那么 $p$ 对应的游戏为：
+
+对于集合 $\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\}$，每次选择正整数 $k$，将集合中所有不小于 $k$ 的数全部减去 $k$，直到所有数全部变为 $0$。
+
+由于 $n\le10^9$，$\alpha_i$ 不超过 $30$，可以状压。状态数上界证明先咕着。
+
+于是可以通过动态规划求出每个 $p$ 对应的游戏，每个状态的 SG 值。通过 SG 定理可以求得原问题起点的 SG 值。